矩阵的迹的证明

矩阵的迹的证明

问题补充说明：为啥矩阵的特征值的和等于矩阵的迹？书上说的没看懂。。哪位大神解释下？还有那个连乘的也说下呗？

设A为n阶方阵，则矩阵A的特征多项式为

a11-λa12...a1(n-1)a1n

a21a22-λ...a2(n-1)a2n

.................

an1an2..区酒.an(n-1)ann-λ

=f(λ)(上述为行列式）

同时，设矩阵的课科造特征值为λ1，λ2。。。。λn

即当λ=λi(i=1,2,.......n)时(A-λE)X=0有非零解

根据齐次线性方程组解存来自在的定理可得IA-λEI=回坐0

即f(λ)=0

故λi均为f(λ)=0的解

其吸精音破裂含圆于是f(λ)=(λ1-λ)(λ2-λ)....360问答.....(λn-λ)

显然，当令λ=0时，f(λ)=λ1λ2...λn

而此时行列式

a11-λa望增轻费货12...a1(殖的确血延画席n-1)a1n

a21a22-λ...a2(n-1)a2n

...............

an1an2...an(n-1)ann-λ

=

a11a12...a1(n-1)a1n

a2然1a22...a2(n-1)a2n

..............听数留宽量识树.

an1an2...an(n-1)ann

=IAI

于是IAI=λ1λ2...λn，即矩阵特费答重界选这了征值的连乘等于矩阵的行列效菜火征家哪式的值

再将f(λ)=(λ1-λ)(λ2-λ).........(λ静景员止愿n-λ)展开可得

λ^(n-1)的系数为-1^(四级便束得留注按构n-1)*(λ1+再茶可马晶述渐λ2+..............+λn)

再看行列式

a11-λa12...a1(n-1)a1n

a21a22-λ...a2(n-1)a2n

........常.......

a备眼规n1an2...an(n-1)因子其财ann-λ

=f(λ)(上述为行列式）

若要出现λ^(n-1氧定),则必有对角线上的(n-1)项相乘，且这(n-1)项均提供λ衡想虽,而剩下的系数也只能是对角线上余下的一项中的常数提供

因此，可得λ^(n-1)的系数为-1^(n-1)*(a11+a22+...+ann）

于是λ1+λ2+...+λn=a11+a22+...+ann

即矩阵特征值的和等于矩阵主对角线上元素的和